Всего: 11 1–11
Добавить в вариант
Произведение положительных чисел a и b больше 1. Докажите, что для любого натурального 
верно неравенство
Имеем:
где tk — целые числа, зависящие от n и k, но не зависящие от a и b, и при этом
При 
имеем: 
Воспользуемся неравенством Коши о среднем арифметическом и среднем геометрическом: для любых положительных чисел x и y справедливо неравенство
Тогда
Учитывая эти неравенства, симметрию коэффициентов 
и равенство 
получим требуемое.
а) Решите неравенство 
б) Решите неравенство 
в) Докажите, что не существует прямых, касающихся графика функции 
в двух разных точках.
а)Преобразуем неравенство
Поскольку знак выражения 
совпадает со знаком выражения 
можно записать неравенство в виде
Первый множитель положителен при 
отрицателен при 
и равен нулю при 
Второй множитель, 
представляет собой убывающую функцию (
убывает, x возрастает, равную нулю при 
поэтому он положителен при 
и отрицателен при 
а при 
он не определен. Нужно, чтобы множители имели одинаковый знак, поэтому ответом будет 
Ответ:
б) Обозначим 
тогда
Поскольку 
тогда 
Поделим на него 
получим 
или 
В первое неравенство годятся только x, при которых 
то есть 
Неравенство 
имеет решения
при 
Окончательно 
Ответ: 
в) Если бы такая прямая существовала, то ее угловой коэффициент был бы равен значению производной функции 
в двух различных точках. Поскольку
квадратный трехчлен, его значения одинаковы в точках, симметричных относительно 
Допустим это точки 
причем 
Тогда уравнения касательных будут
и, аналогично, 
Тогда получим
Поскольку 
можно разделить на 
тогда
Значит 
и 
должны быть корнями уравнения
Но это уравнение можно записать в виде 
поэтому у него нет двух различных корней. Кубический многочлен не может делиться 
—
Теорема. Пусть 
— многочлен и 
Тогда делится на 
Действительно, так как 
то 
где 
— многочлен. Продифференцировав это равенство, получаем 
откуда 
значит, 
и 
Следствие. Если прямая, заданная уравнением 
касается графика многочлена в точке 
то разность 
делится на
Докажем теперь, что график многочлена четвертой степени имеет не более одной прямой, касающейся его в двух различных точках. Если прямая 
(
— линейная функция) касается графика 
в точках с абсциссами 
и 
то разность 
делится на 
значит,
где 
— квадратный трехчлен. Пусть 
— еще одна двойная касательная. Тогда 
откуда
Если 
то такое равенство невозможно, поскольку в его правой части находится многочлен по крайней мере второй степени.
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
Решить уравнение: 
Пусть 
и 
Получаем систему:
Получилась симметрическая система.
Сделаем замену: 
и 
Преобразуем левую часть второго уравнения:
Решениями данного квадратного уравнения будут 
и 
Обратная замена:
откуда либо 
и 
либо 
и 
При этом получается либо
либо
Ответ:
Доказать, что при a > 0, b > 0, c > 0 выполняется неравенство
Данное неравенство является симметричным относительно переменных a, b, c и поэтому можно считать, что 
В стандартных обозначениях
неравенство принимает вид:
Теперь имеем:
Ho
Так как 
то 
откуда и следует доказываемое неравенство.
Решите в целых числах уравнение 
Перепишем уравнение в виде
Откуда:
1) если 
то 
так как x — целое;
2) если 
то 
так как y — целое;
3) если 
то 
так как z — целое.
B силу симметрии, сначала можно искать лишь тройки (x; y; z), для которых 
Такая будет только одна (1; 4; 3) (перебор), а затем в силу симметрии записываем остальные (−1; 4; 3), (−1; 4; −3), (1; 4; −3).
Ответ: (1; 4; 3), (−1; 4; 3), (−1; 4; −3), (1; 4; −3).
В выражении 
раскрыли скобки и привели подобные члены. Сколько получилось 
Пусть 
тогда многочлен можно переписать 
Раскрываем обе скобки по бинома Ньютона и получаем
Складываем и получаем
Заметим, что при раскрытии разных 
и 
у нас будут получаться разные одночлены (так как степени при x будут различны). Так же при раскрытии 
у нас будет получаться 
разных одночленов, следовательно, итоговый ответ будет
Ответ: 1 020 100.
График кубического многочлена 
высекает на прямой, параллельной оси абсцисс, два отрезка длины 1, а на прямой, параллельной прямой y = x, два отрезка, длина одного из которых равна 
Чему может быть равна длина второго?
(А. Голованов, Ф. Петров)
Очевидно, в условии задачи речь идет о двух отрезках длины 1, имеющих одну общую точку, скажем 
Сдвинем график многочлена по горизонтали на u и по вертикали на v — эти действия соответствуют замене переменных 
и изменению функции на константу 
В результате единичные отрезки окажутся расположенными на оси OX, их общая точка станет началом координат, а поскольку при выполнении сдвигов старший коэффициент многочлена не изменился, мы получим график многочлена 
При сдвиге прямая 
перешла в параллельную прямую, пусть она задается уравнением 
По условию график многочлена пересекает Эту прямую в трех точках. Длина одного из отрезков равна 
это значит, что x-координаты концов отрезка отличаются на 1, пусть эти координаты равны p и 
и пусть 
— координата третьей точки пересечения. Тогда числа 
и q суть корни уравнения
Преобразовав это уравнение к виду 
находим, что по теореме Виета
Из этих уравнений легко можно найти p и q: выразим q из первого уравнения и подставим во второе. Мы получим квадратное уравнение 
из которого найдем 
Таким образом, получаем две тройки чисел (расположим их по возрастанию).
Первая из них —
здесь длина проекции искомого отрезка равна 
Вторая тройка чисел симметрична первой
и дает такой же ответ. Осталось найденную длину проекции умножить на 
Ответ: длина второго отрезка равна 
Найдите все значения, которые может принимать выражение 
при положительных x.
Переформулируем задачу в более симметричной форме. Обозначим число 
через y. В задаче идет речь про произведение целых частей двух положительных чисел x и y, для которых 
Убедимся сначала, что любое из этих значений достигается. Значение 0 достигается при любом 
Кроме того, при всех 
число 
принимает все вещественные значения из интервала 
получаем все ответы от 1000 до 
Докажем, что других значений нет. Верхняя оценка очевидна: 
Если одна из целых частей равна 0, то и произведение равно 0. Случай, когда одна из целых частей равна 1, разбирался выше. Следовательно, осталось доказать, что при 
выполнено неравенство 
Ясно, что хотя бы одна из целых частей больше или равна 3 (иначе оба числа x и y меньше 3, что невозможно). Не умаляя общности допустим, что 
Заметим, что
ибо 
Аналогично,
ибо Перемножая эти неравенства, получаем
то есть 
что и требовалось.
Ответ: 0, а также все натуральные значения от 1000 до 2000.
Даны натуральные числа a, b, c. Доказать, что, как минимум одно из трёх чисел 
не является точными квадратом, то есть квадратом натурального числа.
В силу симметрии можно считать, что 
Тогда
следовательно, заключено между квадратами последовательных чисел 
и 
то есть само не может быть точным квадратом.
За отсутствие объяснений, почему из неравенства
следует, что не может быть точным квадратом оценка не снижается.
Пусть для действительных чисел x, y, z выполнено неравенство: 
Доказать, что для них выполнено и неравенство 
Прежде всего заметим, что при 
и 
выполнено неравенство 
В силу симметрии далее можно считать, что 
1. Докажем неравенство в случае, когда все переменные неотрицательны, то есть 
Если при этом 
то 
и неравенство доказано. Если 
то
тоже доказано.
2. Пусть теперь среди переменных есть отрицательные. Если их одна или три, то 
Остался случай 
Тогда
то есть первое неравенство из условия выполнено для тройки 
С учётом того, что второе неравенство условия для неотрицательных значений переменных уже доказано, получаем:
оно выполнено и для рассматриваемой тройки
Требуемое неравенство доказано для 
2 балла. Требуемое неравенство доказано для 
1 балл. Требуемое неравенство доказано для случая трёх или одной переменной меньше 0: 1 балл.
Требуемое неравенство доказано для 
3 балла.
Замечание.
При похожих схемах доказательства проверка выполнимости первого неравенства условия
в последнем пункте является необходимой. Если это не сделано, за него ставим 1 балл.
Найти сумму действительных корней уравнения 
Данное уравнение равносильно совокупности уравнений
которые после подстановки 
преобразуются в уравнения
В левых частях стоят монотонно возрастающие функции, принимающие как положительные, так и отрицательные значения. Уравнения имеют, следовательно, ровно по одному действительному корню, которые согласно формуле Кардано равны
и
соответственно. Искомая сумма поэтому равна
Ответ: 
Наверх